1.什么是动态规划

首先介绍一下动态规划...

设计一个动态规划算法，通常可按照以下几个步骤进行：

(1) 找出最优解的性质，并刻画其结构特征。

(2) 递归地定义最优解的值

(3) 以自底而上的方式计算出最优值

(4) 根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。

对于一个给定的问题，若具有以下两个性质，则可以考虑用动态规划法来求解。

(1) 最优子结构。如果一个问题的最优解中包含了其子问题的最优解，就说该问题具有最优子结构。当一个问题具有最优子结构时，提示我们动态规划法可能会适用，但是此时贪心策略可能也是适用的。

(2) 重叠子问题。指用来解原问题的递归算法可反复地解同样的子问题，而不是总在产生新的子问题。即当一个递归算法不断地调用同一个问题时，就说该问题包含重叠子问题。此时若用分治法递归求解，则每次遇到子问题都会视为新问题，会极大地降低算法的效率，而动态规划法总是充分利用重叠子问题，对于每个子问题仅计算一次，把解保存在一个在需要时就可以查看的表中，而每次查表的时间为常数。

2.0-1背包问题

问题：有n个物品，第i个物品价值为vi，重量为wi，其中vi和wi均为非负数，背包的容量为W，W为非负数。现需要考虑如何选择装入背包的物品，使装入背包的物品总价值最大。该问题以形式化描述如下：

目标函数为：

约束条件为：

满足约束条件的任一集合（x1，x2，...，xn）是问题的一个可行解，问题的目标是要求问题的一个最优解。考虑一个实例，假设n=5，W=17，每个物品的价值和重量如表9-1所示。可将物品1，2和5装入背包，背包未满，获得价值22，此时问题解为你（1，1，0，0，1）。也可以将物品4和5装入背包，背包装满，获得价值24，此时解为（0，0，0，1，1）。

下面根据动态规划的4个步骤求解该问题。

(1) 刻画0-1背包问题的最优解的结构。

可以将背包问题的求解过程看作是进行一系列的决策过程，即决定哪些物品应该放入背包，哪些物品不放入背包。如果一个问题的最优解包含了物品n，即xn=1，那么其余x1，x2，...，x(n-1)一定构成子问题1，2，...，n-1在容量W-wn时的最优解。如果这个最优解不包含物品n，即xn=0，那么其余x1，x2，...，x(n-1)一定构成子问题1，2，...，n-1在容量W时的最优解。

(2)递归定义最优解的值

根据上述分析的最优解的结构递归地定义问题最优解。设c[i,w]表示背包容量为w时，i个物品导致的最优解的总价值，得到下式。显然要求c[n,w]。

(3)计算背包问题最优解的值

上代码：

// knapsack.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。//#include "stdafx.h"#include 
   
    #include 
    
     #include 
     
      using namespace::std;/*	0-1 背包问题（迭代版）	输入：		products_count：商品的数量		capacity：背包的容量		weight_array：商品重量数组		value_array：商品价格数组		result：结果数组*/void knapsack(int products_count, int capacity, vector
      
       & weight_array, vector
       
        & value_array, vector
        
         
          >& result){ for (int i = 1; i <= products_count; ++i) { for (int j = 1; j <= capacity; ++j) { if (weight_array[i] > j) // 当前背包的容量 j 放不下第 i 件商品时 { result[i][j] = result[i - 1][j]; // 放弃第 i 件商品，拿第 i - 1 件商品 } else { int value1 = result[i - 1][j - weight_array[i]] + value_array[i]; // 拿走第 i - 1件商品 int value2 = result[i - 1][j]; // 不拿走第 i - 1 件商品 if (value1 > value2) { result[i][j] = value1; } else { result[i][j] = value2; } } } }}int main(){ while (1) { int products_count, capacity; vector
          
            weight_array(1, 0); vector
           
             value_array(1, 0); cout << endl<< "-----------------------------" << endl; cout << "please input products count and knapsack's capacity: " << endl; // 输入商品数量和背包容量 cin >> products_count >> capacity; cout << "please input weight array for " << products_count << " products" << endl; for (int i = 1; i <= products_count; ++i) // 循环输入每件商品的重量 { int tmp; cin >> tmp; weight_array.push_back(tmp); } cout << "please input value array for " << products_count << " products" << endl; for (int i = 1; i <= products_count; ++i) // 循环输入每件商品的价格 { int tmp; cin >> tmp; value_array.push_back(tmp); } vector
            
             
              > result(products_count + 1, vector
              
               (capacity + 1, 0)); // 结果数组 knapsack(products_count, capacity, weight_array, value_array, result); // 调用动态规划算法 cout << "knapsack result is " << result[products_count][capacity] << endl; } return 0;}

输入 5 件商品，重量分别为3、4、7、8、9，价格分别为4、5、10、11、13，背包容量为17

结果如下：

上述代码的时间复杂度为O(商品数量 * 背包容量)。

result 矩阵如下表所示：

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